DENSIDAD FUERTE

Sea Ω un abierto en el espacio euclideo Rⁿ . Recordemos que D(Rⁿ ) es el conjunto formado por los subconjuntos acotados A de Rⁿ que tienen contenido, es decir que su frontera topológica b(A) es de contenido cero. Ahora consideremos D(Ω ) formado por los A∈D(Rⁿ ) tales que A⊂A^— ⊂Ω, donde A^— es la clausura topológica de A. Dados A, B ∈D(Ω ), como (A∪B)^— =A^— ∪B^— ⊂Ω y A∪B∈D(Rⁿ ), se deduce que A∪B ∈D(Ω ) . Una función D(Ω ) →R se dice aditiva, si dados A, B∈D(Ω ) , tales que A∩B=∅, entonces G(A∪B)=G(A)+G(B).

(a) Demostremos que si f:Ω →R es una función, tal que f|A es integrable para todo A∈D(Ω ) y si definimos F:D(Ω ) →R por F(A)=∫_Af, entonces F es aditiva.

En efecto considere A, B∈D(Ω ) , tales que A∩B=∅. Sea un rectángulo cerrado I de Rⁿ tal que A∪B ⊂ I. Sean las funciones f_A∪B, f_A y f_B. Recuerde que estas funciones están definidas en I, tales que coinciden con f en los soportes y fuera se anulan. Es inmediato verificar que f_A∪B=f_A+f_B, por lo tanto

∫_A∪Bf =∫_If_A∪B=∫_If_A+∫_If_B=∫_Af+∫_Bf. Esto demuestra lo afirmado.

(b) Si F:D(Rⁿ ) →R por F(A)=c(A)=∫_A1, para todo A de D( Rⁿ ) y g:Rⁿ →R es la función g(x)=1, para todo x de Rⁿ , entonces F tiene función de densidad en g.

Sea A∈Rⁿ y ε>0. Si δ= ε , K un cubo cerrado con longitud lateral lat(K)=r<δ y x∈A∩K, entonces |F(K)/c(K)− g(x)|=|c(K)/c(K)− 1|=0<ε. El resultado se sigue.

(c) Si F:D(Rⁿ ) →R es una función aditiva y positiva que es invariante por traslaciones, es decir F(x+A)=F(A), para todo A de D( Rⁿ ) , entonces F tiene densidad fuerte en una función constante.

Como F cumple: (1) F(A)≥0, para todo A de D(Rⁿ ) (2) F(x+A)=F(A), para todo A de D(Rⁿ ) (3) F(A∪B)=F(A)+F(B), para todo A, B de D(Rⁿ ) con A∩B=∅; existe una constante m≥0 tal que F(A)=mc(A) para toda A en D(Rⁿ ). Sea A∈Rⁿ y ε>0. Si δ= ε , K un cubo cerrado con longitud lateral lat(K)=r<δ y x∈A∩K, entonces |F(K)/c(K)− g(x)|=|mc(K)/c(K)− m|=0<ε. Considere g(x)=m para todo x en Rⁿ . El resultado se sigue.

(d)Demostremos que si f:Ω →R es una función continua, y si definimos F:D(Ω ) →R por F(A)=∫_Af, entonces F tiene densidad fuerte en f.

Considere A en D(Rⁿ ). Como A⊂A^— ⊂Ω, para cada x∈A^— , existen cubos cerrados K y K´ centrados en x tales que lat(K´)=2 lat(K) K⊂K´⊂Ω. Por ser A^— compacto, existe un cubrimiento finito K₁ ,...,K_s de A^— . Si lat(K_i )=r_i , entonces lat(K´_i )=2r_i . Al ser f una función continua, entonces la función restringida f| ( K´₁ ∪...∪K´_s ) es uniformemente continua, luego dado ε>0, existe δ´>0, tal que si |x− y|<δ´ (x,y ∈ K´₁ ∪...∪K´_s ), entonces |f(x)− f(y)|<ε. Sea δ<min(r₁ ,...,r_s ,δ´), veamos que si K es un cubo cerrado dentro de Ω, tal que x∈A∩K con lat(K)=r<δ, entonces K⊂ K´ ₁ ∪...∪K´_s . Sea x∈K_i con x=(a₁ ,...,a_n) y supongamos que z=(b₁ ,...,b_n) es el centro del cubo cerrado K_i . Tenemos que si y=(c₁ ,...,c_n)∈K, entonces | c_j −b_j |≤|c_j −a_j |+| b_j −a_j |≤δ+r_j ≤2r_j, luego y∈ K´_i , lo que asegura lo afirmado.

Sabemos que K es un conjunto convexo, luego por el teorema del valor medio para integrales, existe p∈ K tal que F(K)=∫_If_K=f(p)c(K). Finalmente

|F(K)/c(K) − f(x)|=|∫_If_K − f(x)|=|f(p)c(K)/c(K) − f(x)|=|f(p)− f(x)|< ε, ya que |p −x| ≤r < δ´; se deduce el resultado.

(e) Sea G:D(Ω ) →R aditiva, 0≤G(A) para todo A en D(Ω ) , y tal que G tiene densidad cero. Demostremos que G(A)=0, para todo A en D(Ω ).

Primero notemos que si A, B ∈D(Ω), entonces A − B ∈D(Ω). En efecto la frontera b(A - B)⊂b(A) ∪b(B), lo que dice que A − B tiene contenido y como la clausura ( A − B )^— ⊂ A^— ⊂Ω, se deduce lo afirmado. Supongamos que A⊂B, luego A=B ∪(A− B ), luego G(A)=GB)+G(A− B) . Es decir G(A)≥G(B).

Probemos que para todo A _i∈D(Ω) (i=1,2...,k), G(A ₁ ∪...∪ A _k) ≤ G(A ₁) +...+ G(A _k). En efecto, sean B_i=(A ₁ ∪...∪ A _i) − (A ₁ ∪...∪ A _{i −1})∈D(Ω) (i=k,k−1...,2), B₁= A₁ . Es claro que la familia de los B_i es disjunta B_i⊂A_i (i=1,2,...,k) . Además A ₁ ∪...∪ A _k =B ₁ ∪...∪ B _k, luego G(A₁ ∪...∪ A _k) =G( B₁ ∪...∪ B _k) =G( B₁)+ ...+G( B _k)≤G( A₁)+ ...+G( A _k).

Para terminar el ejercicio, si K=A es un cubo cerrado dentro de Ω, elijamos una partición en cubos K₁,...,K_s de K, tales que lat(K_i) <δ<ε. Tenemos que si x∈ K_i∩A, entonces G( K_i)<εc( K_i), luego G(K)=G(K₁∪...∪K_s)≤G(K₁) +...+G(K _s)≤ε(c(K₁) +...+c(K _s))= εc(K) y como ε es arbitrario se prueba que G(K)=0. Como A^— es compacto, existe un cubrimiento por cubos cerrados K₁,...,K_t en Ω, luego G(A)≤G(A^— )≤G(K₁) +...+G(K _t)=0, Es decir G(A)=0.

NOTA. Estas notas son la resolución de los ejercicios sobre densidad fuerte , de la sección "Contenido e Integral", del capítulo de Integración del libro "Introducción al Análisis Matemático" de Robert Bartle. Limusa. 1992.