FRONTERA TOPOLÓGICA

(1) Recordemos que un subconjunto A del espacio euclideo Rⁿ es abierto, si dado a ∈ A, existe una bola abierta B_a(r)⊂A. Si Rⁿ−A es abierto, se dice entonces que A es cerrado.

La frontera topológica de A, se define como el conjunto b(A), donde a∈b(A), si dado cualquier bola abierta B_a(r), entonces B_a(r)∩A≠∅ y B_a(r)∩(Rⁿ−A )≠∅ . De esta definición se sigue

(1.1) b(A)=b(Rⁿ−A )

(1.2) b(A) es un conjunto cerrado de Rⁿ

Hay que demostrar que Rⁿ−b(A) es abierto. Si b∈Rⁿ−b(A), luego existe B_b(r)∩A=∅. Por otro lado, si x∈ B_b(r), existe B_x(s) ⊂ B_b(r), luego B_x(s)∩A=∅. Esto dice que x∉b(A) y por lo tanto B_a(r)⊂Rⁿ−b(A) , lo que prueba lo afirmado.

A^o=A−b(A) es abierto y G es un abierto en Rⁿ, tal que G⊂A. entonces G⊂A^o.

Sea a ∈A−b(A), luego existe B_a(r)∩(Rⁿ−A)=∅. Esto asegura que B_a(r)⊂A−b(A).

Dado G es un abierto en Rⁿ, tal que G⊂A, tenemos que G=U _a∈GB_a (r_a) con B_a (r_a)⊂G⊂A, luego B_a (r_a)∩(Rⁿ−A)=∅. Se deduce que B_a (r_a)⊂A−b(A). lo que demuestra lo afirmado.

Si A^—=A U b(A) es la clausura topológica de A, entonces A^— es cerrado y si F es cerrado con A⊂ F, entonces A^— ⊂ F.

Demostremos que Rⁿ− A^—=(Rⁿ−A) ∩(Rⁿ− b(A)) es abierto. Si x∈Rⁿ−A^—, como x∈Rⁿ− b(A), existe B_x(r)⊂Rⁿ−A. Ya vimos que esto conduce forzosamente a que B_x(r)⊂Rⁿ−b(A). Esto prueba lo afirmado.

Veamos que b(A)⊂ F. Si x∈b(A)−F, como Rⁿ−F es abierto existe B_a (r)⊂Rⁿ−F⊂Rⁿ−A, luego B_a (r)∩A=∅, lo que es contradictorio. Es decir A U b(A) ⊂ F.

Si A es cerrado luego A^—⊂A, es decir A= A^—.

(1.3) Se tiene que b(A^—)⊂b(A), donde la inclusión puede ser estricta.

De la definición de frontera, se deduce de manera inmediata que b(A)=A^—∩(Rⁿ−A)^—, luego b(A^—)=(A^—)^—∩(Rⁿ−A^—)^—=A^—∩(Rⁿ−A^—)^—⊂A^—∩(Rⁿ−A)^—=b(A).

Es claro que si A es cerrado ambas fronteras coinciden, ya que A^—=A

Veamos que en general, la inclusión es estricta. Sea A=[0,1]−{1/2}, Es claro que b(A)={0,1,1/2} y como A^—=[0,1] con b(A^—)={0,1} se obtiene un contraejemplo.

(1.4) Sean A, B⊂Rⁿ. Demostrar que A−B, A∩B y A U B tienen frontera contenida en b(A) U b(B).

Veamos que b(A U B)⊂b(A) U b(B). De lo contrario existe x∈ b(A U B)−(b(A) U b(B). Si x∈A∩B, luego podeos hallar B_x(r)∩(Rⁿ−A)=B_x(r)∩(Rⁿ−B)=∅ , luego B_x(r)∩(Rⁿ−(A U B)))= B_x(r)∩(Rⁿ−A )∩(Rⁿ−B )=∅ lo que es contradictorio. Si x∈A−B, existe B_x(r)∩(Rⁿ−A)=∅ y por lo tanto B_x(r)∩(Rⁿ−(A U B)))=∅. Caso similar para x∈B−A, Finalmente si x∈ Rⁿ−(A U B), existe B_x(r)∩A=B_x(r)∩B=∅, luego B_x(r)∩(A U B)=∅, lo que es contradictorio. Esto prueba lo afirmado.

Veamos que (A U B)^—=A^— U B^—. En efecto (A U B)^—=(A U B) U b (A U B) ⊂ (A U B) U b (A) U b(B) ==A^— U B^—. La otra inclusión es inmediata.

También vale que (A ∩ B)^—⊂A^— ∩ B^—, lo que es muy fácil de demostrar.

Finalmente

b(A∩B)=(A∩B)^—∩(Rⁿ−A∩B)^—=(A∩B)^—∩(Rⁿ−A U Rⁿ− B)^—=

(A∩B)^—∩((Rⁿ−A )^— U Rⁿ− B)^—)⊂

A^—∩(Rⁿ−A )^—∩B^— U B^—∩(Rⁿ−B)^—∩A^— )=b(A)∩B^— U b(B)∩A^—⊂ b(A)U b(B). Ahora

b( A−B)= b(A∩(Rⁿ−B ))⊂b(A) U b(Rⁿ−B ))=b(A)U b( B)

(1.5) A⊂Rⁿ es cerrado, si y sólo si, b(A)⊂A . B⊂Rⁿ es abierto, si y sólo si, b(B)∩B=∅ .

En efecto, si A es cerrado, A^—=A y por definición de clausura b(A) ⊂A. La otra inclusión es obvia.

Si A es abierto B=B^o=A −b(B) y por lo tanto b(B)∩B=∅. Por otro lado, si b(B)∩B=∅, entonces B⊂B^o, luego B=B^o y por lo tanto abierto.

NOTA. Estas notas son la resolución de los ejercicios sobre frontera topológica, de la sección "Contenido e Integral", del capítulo de Integración del libro "Introducción al Análisis Matemático" de Robert Bartle. Limusa. 1992.